Catatan Hui Sebuah ilusi: Vektor

1.1. Besaran Vektor Dan Skalar

Ada beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. Ada juga besaran fisis yang tidak cukup hanya dinyatakan dengan besarnya saja, tetapi harus juga diberikan penjelasan tentang arahnya.

Besaran vektor :
Besaran yang dicirikan oleh besar dan arah
Contoh besaran vektor didalam fisika adalah: kecepatan, percepatan, gaya, perpindahan, momentum dan lain-lain.
Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.
Besaran skalar :
Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besarnya dinyatakan oleh bilangan dan satuan)
Contoh besaran skalar : waktu, suhu, volume, laju, energi, usaha dll.
Tidak diperlukan sistem koordinat dalam besaran skalar.

1.2. Penggambaran, penulisan (Notasi) vektor

Sebuah vektor digambarkan dengan sebuah anak panah yang terdiri dari pangkal (titik tangkap), ujung dan panjang anak panah. Panjang anak panah menyatakan nilai dari vektor dan arah panah menunjukkan arah vektor.

Pada gambar (2.1) digambar vektor dengan titik pangkalnya P, titik ujungnya Q serta sesuai arah panah dan nilai vektornya sebesar panjang.

Notasi (simbol) sebuah vektor dapat juga berupa huruf besar atau huruf kecil, biasanya berupa huruf tebal, atau berupa huruf yang diberi tanda panah di atasnya atau huruf miring.

Untuk penulisan harga (nilai) dari vektor dituliskan dengan huruf biasa atau dengan memberi tanda mutlak dari vektor tersebut.

Contoh : Vektor A. Nilai vektor A ditulis dengan A atau lAl

Ada beberapa hal yang perlu diingat mengenai besaran vektor.

1. Dua buah vektor dikatakan sama jika mempunyai bila besar dan arah sama.

2. Dua buah vektor dikatakan tidak sama jika :

a. Kedua vektor mempunyai nilai yang sama tetapi berlainan arah

b. Kedua vektor mempunyai nilai yang berbeda tetapi arah sama

c. Kedua vektor mempunyai nilai yang berbeda dan arah yang berbeda

Untuk lebih jelasnya lihat gambar di bawah ini:

Besar (nilai) vektor A, B, C, dan D sama besarnya. Nilai vektor C lebih kecil dari vektor D. Dari gambar di atas dapat disimpulkan bahwa:

A = C artinya: nilai dan arah kedua vektor sama
A = - B artinya: nilainya sama tetapi arahnya berlawanan
Vektor A tidak sama dengan vektor D (Nilainya sama tetapi arahnya berbeda)
Vektor D tidak sama dengan vektor E (Nilai dan arahnya berbeda)

1.3. Penjumlahan dan pengurangan vektor

Mencari resultan dari beberapa buah vektor, berarti mencari sebuah vektor baru yang dapat menggantikan vektor-vektor yang dijumlahkan (dikurangkan)
Untuk penjumlahan atau pengurangan vektor, ada beberapa metode, yaitu:
1. Metode jajaran genjang
2. Metode segitiga
3. Metode poligon (segi banyak)
4. Metode uraian

1.3.1 Metode Jajaran Genjang

Cara menggambarkan vektor resultan dengan metode jajaran genjang adalah sebagai berikut.

Langkah-langkah :

a. Lukis vektor pertama dan vektor kedua dengan titik pangkal berimpit
b. Lukis sebuah jajaran genjang dengan kedua vektor tersebut sebagai sisi-sisinya
c. Resultannya adalah sebuah vektor, yang merupakan diagonal dari jajaran genjang tersebut dengan titik pangkal sama dengan titik pangkal kedua vektor tersebut

Untuk pengurangan (selisih) vektor R = A – B, maka caranya sama saja, hanya vektor B digambarkan berlawanan arah dengan yang diketahui.

1.3.2 Metode Segitiga

Bila ada dua vektor A dan B akan di jumlahkan dengan cara segitiga nmaka tahap-tahap yang harus dilakukan adalah

Langkah-langkah :

1. gambarkan vektor A
2. gambarkan vektor B dengan cara meletakkan pangkal vektor B padda ujung vektor A
3. tariklah garis dari pangkal vektor A ke ujung vektor B
4. vektor resultan merupakan vektor yang mempunyai pangkal di vektor A dan mempunyai ujung di vektor B.

jika ditanyakan R = A - B, maka caranya ama saja, hanya vektor B digambarkan berlawanan arah dengan yang diketahui.

1.3.4 Metode Uraian

Setiap vektor yang akan dijumlahkan (dikuragkan diuraikan terhadap komponen-komponen nya (sumbu x dan y).

besar vektor R :

Arah vektor R terhadap sumbu x positif :

catatan :

jika vektor A dinyatakan dengan vektor-vektor satuan i dan j maka, secara matematis vektor A dapat ditulis dengan

A = i Ax + j Ay

yang merupakan penjumlahan kedua komponen komponennya

Contoh :

1. Lima buah vektor digambarkan sebagai berikut :

Hitung : Besar dan arah vektor resultan.

Jawab :

1.4 Perkalian Vektor

Untuk operasi perkalian dua buah vektor, ada dua macam operas yaitu :

1. Perkalian sekalar dengan vektor
2. Perkalian vektor dengan vektor.
a. Perkalian titik (dot product)
b. Perkalian silang ( cross product)

1.4.1 Perkalian skalar dengan vektor

Sebuah besaran skalar dengan nila sebesar k, dapat dkalikan dengan sebuah vktor A yang hasilnya sebuah vektor baru C yang nilainya sama dengan nilai K dikalikan nila A jika nilai k positif , maka arah C searah dengan A dan jika nilai k bertana negatif, maka arah C berlawanan dengan arah A. secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut :

C = k A

1.4.2 Perkalian vektor dengan vektor

Ada dua jenis perkalian antara vektor dengan vektor. Pertama disebut perkalian titik (dot product) yang menghasilkan besaran skalar dan kedua disebut perkalan silang (cross product) yang menghasilkan besaran vektor.

1.4.2.1 Perkalian titik (dot product)

Perkalan titik (dot product) antara dua buah vektor A dan B yang menghasilkan C, didefinisikan secara matematis sebagai berkut :

Sifat-sifat perkalian titik :

1. bersifat komutatif : A . B = B . A

2. bersifat distributif : A . (B + C) = A . B + A . C

3. jika A dan B saling tegak luus maka : A . B = 0

4. jika A dab B searah : A . B = A.B

5. jika A dan B berlawanan arah maka : A . B = -A.B

1.4.2.2. Perkalian silang (cross product)

Perkalian silang (cross product) antara dua buah vektor A dan B akan menghasilkan C , didefinisakn sebagai berikut ;

A, B Dan C vektor

Nilai C didefinisikan sebagai

C = A . B Sin θ

A = lAl = besar vektor A
B = lBl = besar vektor B
θ = sudut antara vektor A dan B

Arah vektor C dapat diperoleh dengan cara membuat putaran dari vektor A ke B melalui sudut θ dan arah C sama dengan gerak arah sekrup atau aturan tangan kanan..
Sifat-sifat perkalian silang (cross Product).
1. bersifat anti komutatif : A x B = - B x A
2. jika A dan B saling tegak lurus maka : A x B = A.B
3. jika A dan B searah atau berlawanan arah : A x B = 0

1.5 Vektor Satuan

Vektor satuan adalah sebuah vektor yang didefinisikan sebagai satu satuan vektor. Jika digunakan sistem koordinat Cartesian (koordinat tegak) tiga dimensi, yaitu sumbu x dan sumbu y dan sumbu Z, vektor satuan pada sumbu x adalah i, vektor satuan pada sumbu y adalah j dan pada sumbu z adalah k. Nilai dari satuan vektor-vektor tersebut besarnya adalah satu satuan.

Sifat-sifat perkalian titik vektor satuan
i . i = j . j = k . k = 1i . j = j . k = i . k = 0

Sifat-sifat perkalian silang vektor satuan

i x I = j x j = k x k =0

i x j = k j x i = - k

k x I = j i x k = - j

j x k = i k x j = - i

Penulisan suatu vektor A dalam koordinat katesian bedasarkan komponen-komponennya adalah :
A = Ax i + Ay j + Azk
Dimana Ax , Ay dan Az adalah komponen A arah sumbu X, Y dan Z

Contoh perkalian titik dan perkalian silang dua buah vektor A dan B .

1. Pekalian titik.
A. B = (Ax i + Ay j + Az k) . ( Ax i + Ay j + Az k )
= AxBx i.i + AxBy i.j + AxBz i.k + AyBx j.i + AyBy j.j + AyBz j.k + AzBx k.i + AzBy k.j +
AzBz k.k
A . B = AxBx + AyBy + AzBz

2. Perkalian silang.
A x B = (Ax i + Ay j + Az k) x ( Ax i + Ay j + Az k )
= AxBx ixi + AxBy ixj + AxBz ixk + AyBx jxi + AyBy jxj + AyBzjxk + AzBx kxi + AzBy kxj +
AzBz kxk
= AxBy k - AxBz j - AyBx k + AyBz i + AzBx j - AzBy I
A x B = (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx )j + (AxBy – AyBx)k

Salah satu cara untuk menyelesaikan perkalian silang adalah dengan metode determinan :

untuk mencari determinan matriksnya dengan mengunakan metode Sarrus :

Cara lain yang mirip dengan metode diatas adalah dengan cara mereduksi determinan matriks 3x3 menjadi determinan matriks 2x2 sehingga lebih mudah menghitungnya :